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Gráficas de funciones cuadráticas.

En matemáticas una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado como:


9a15d30692a44e5b6f4d6b71c3c14f94


donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0.


La representación gráfica en el plano XY es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.

Forma canónicaEditar

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

92f4349d030a355847eab5de14f67f31
A esta forma de expresión se la llama forma canónica. Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola.



Estudio de la funciónEditar

Corte con el eje yEditar

La función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el termino independiente de la función.

Corte con el eje xEditar

La función corta al eje x cuando y vale 0. Tendremos que:

Dibujo


las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen como es sabido por la expresión:


8c58ae2d322a33f3036800d96db0e91a


donde

B67c930253012422fb7445ddbdbf345f

se llama discriminante. Tomando en cuenta este valor podemos decir que:

Δ > 0, la ecuación tiene dos soluciones, y por tanto la parábola cortara al eje x en dos puntos: x1 y x2.
Δ = 0, la ecuación tiene una única solución en x1, la parábola solo tiene un punto en común con el eje x, el cual es el vértice de la función donde las dos ramas de la parábola confluyen.
Δ < 0, la ecuación no tiene solución real, y la parábola no corta al eje x.

Forma factorizadaEditar

Toda función cuadrática se puede factorizar en función de sus raíces, se puede factorizar como:

E1b496c0a4478c942cc21deb453ff7b7


siendo a el coeficiente principal de la función, por ello se extrae siempre como factor común, de no escribirse, el coeficiente de x2 sería siempre 1. x1 y x2 representan las raíces de f(x). En el caso de que el Discriminante Δ sea igual a 0 entonces x1 = x2 por lo que podríamos escribir:

2a1e06673360a9cd621cd5cc9134493c

En este caso a x1 se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.


Forma canónicaEditar

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:


92f4349d030a355847eab5de14f67f31
A esta forma de expresión se la llama forma canónica. Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola.


Usos de la Función CuadráticaEditar

En algunos temas de la fisica, podemos utilizarla para:

  • I) Si desde el suelo (a nivel del mar) se arroja un objeto verticalmente hacia arriba, la altura a la que llega depende de la velocidad con que se lo tira. A esta altura, que es la función de la velocidad inicial, se calcula con la siguiente fórmula:
Dibujo



donde


es la aceleración de la gravedad
Dibujo 2




Si calculamos 1/2g=1/19,6(m/seg^2)=0,05(seg^2/m) (aproximadamente)

La funcion con la que se obtiene la altura dependiendo de la velocidad inicial es: h(v)=0.05(seg^2/m)v^2. El dominio de esta funcion son todas las velocidades posibles.

  • ll) Otro tipo de movimiento que estudia la Fisica es la "caida libre", osea, un cuerpo que cae desde una altura determinada por accion de la gravedad.

A la altura inicial se la denomina h; g es la aceleracion de la gravedad(9,8 (m/seg)^2 en todos los casos). Para calcular a qué altura está el cuerpo en un instante dado se emplea la fóremula h(t)=h-1/2gt^2. Ésta es una funcion cuadrática en la cual el coeficiente principal es -1/2g, el coeficiente del término de primer grado es 0y el termino independiente es h; la variable independiente es t (tiempo)y la variable dependiente es h (altura).

  • lll) Se denomina "movimiento rectilíneo uniformemente acelerado" al que se realiza en línea recta y en el que la aceleracion se mantiene constante.

Para calcular el espacio recorrido por un movil es necesario conocer su posicion inicial (e), su velocidad inicial (v) y su aceleracion (a). Con esos datos, el espacio recorrido (e) es funcion del tiempo: e(t)= e +v t+1/2at^2.

El dominio de esta funcion esta formado por todos los valores que puede tomar el tiempo; t es variable independiente y e la variable dependiente.

Si la aceleracion es nula (a=0), o sea que la velocidad es constante, la funcion para calcular el espacio recorrido es lineal: e(t)=e+v t

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